ランダウ・リフシッツ力学 §11 問題 2 a

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §11 問題2aのメモです。

\[ U = A |x|^n \]

は\(x=0\)について対称ですから、振動の周期は0から停留点\(x_0 = (E/A)^{1/n}\)までの積分の2倍です:

\[ T = 2 \sqrt{2m} \int_0^{x_0} \cfrac{dx}{\sqrt{E-A x^n}} = 2 \cfrac{\sqrt{2m}}{E} \int_0^{x_0} \cfrac{dx}{\sqrt{1-\cfrac{A}{E} x^n}} \] \[ y = \left(\cfrac{A}{E}\right)^{1/n} x \]

と置くと(\(y_0 = 1\))

\[ dx = \left(\cfrac{E}{A}\right)^{1/n} dy \]

これを用いて

\[ T = 2 \cfrac{\sqrt{2m}}{E} \left(\cfrac{E}{A}\right)^{1/n} \int_0^{1} \cfrac{dy} {\sqrt{1- y^n}} . \]

\(y^n = u\)と置くと

\[ dy = \cfrac{u^{1/n -1}}{n} du \] \[ T = 2 \cfrac{\sqrt{2m}}{nE} \left(\cfrac{E}{A}\right)^{1/n} \int_0^{1} u^{\cfrac{1}{n}-1} (1-u)^{-\cfrac{1}{2}} du \]

ベータ積分

\[ B(x,y ) = \int_0^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \]

を用いて

\[ T = 2 \cfrac{\sqrt{2m}}{nE} \left(\cfrac{E}{A}\right)^{1/n} B(1/n, 1/2) . \]

ベータ積分とガンマ関数の関係

\[ B(x,y) = \cfrac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \]

を用いて

\begin{align} T = & 2 \cfrac{\sqrt{2m}}{nE} \left(\cfrac{E}{A}\right)^{1/n} \cfrac{\Gamma(1/n) \Gamma(1/2)}{\Gamma(1/n + 1/2)} \\ = & 2 \cfrac{ \sqrt{2\pi m}}{nE} \left(\cfrac{E}{A}\right)^{1/n} \cfrac{\Gamma\left(\cfrac{1}{n}\right) }{\Gamma\left(\cfrac{1}{n} + \cfrac{1}{2}\right)} . \end{align}