ランダウ・リフシッツ力学 §13 問題

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §13 問題のメモです。 \[ \boldsymbol{r}_a = \boldsymbol{R}_a – \boldsymbol{R} \] 慣性中心にとると \begin{align} M \boldsymbol{R} + m \sum_a^n \boldsymbol{R}_a = & 0 \\ M \boldsymbol{R} + m \sum_a^n \left( \boldsymbol{r}_a + \boldsymbol{R} \right)= & 0 \\ M \boldsymbol{R} + n m\boldsymbol{R} + m \sum_a^n \boldsymbol{r}_a = & 0 \\ (M + nm)\boldsymbol{R} + m \sum_a^n \boldsymbol{r}_a = & 0 \\ \boldsymbol{R} = & -\cfrac{m}{M + nm} \sum_a^n \boldsymbol{r}_a \\ \end{align} \(\boldsymbol{R}_a\)の式も変形しておきます。\(a\)についての和は添字を別に変更しておくと混乱しません。 \begin{align} \boldsymbol{R}_a = & \boldsymbol{R} + \boldsymbol{r}_a \\ = & -\cfrac{m}{M + nm} \sum_{a’}^n \boldsymbol{r}_{a’} + \boldsymbol{r}_a \\ \end{align} これらをラグランジアンに代入していきます。 \begin{align} L = & \cfrac{M}{2} \dot{\boldsymbol{R}}^2 + \cfrac{m}{2} \sum_a^n \dot{\boldsymbol{R}}_a^2 – U \\ = & \cfrac{M}{2} \left( -\cfrac{m}{M+nm} \sum_a^n \boldsymbol{v}_a \right)^2 + \cfrac{m}{2} \sum_a^n \left( -\cfrac{m}{M + nm} \sum_{a’}^n \boldsymbol{v}_{a’} + \boldsymbol{v}_a\right)^2 – U \\ = & \cfrac{M}{2} \cfrac{m^2}{(M+nm)^2} \left(\sum_a^n \boldsymbol{v}_a \right)^2 + \cfrac{m}{2} \sum_a^n \left[ \cfrac{m^2}{(M + nm)^2} \left(\sum_{a’}^n \boldsymbol{v}_{a’}\right)^2 – \cfrac{2m}{(M+nm)} \sum_{a’}^n \boldsymbol{v}_{a’}\boldsymbol{v}_{a} \right] \\ & + \cfrac{m}{2}\sum_{a’}^n \boldsymbol{v}_a^2 – U \\ = & \cfrac{M}{2} \cfrac{m^2}{(M+nm)^2} \left(\sum_a^n \boldsymbol{v}_a \right)^2 + \cfrac{m}{2} \left[\cfrac{nm^2}{(M + nm)^2} \left(\sum_{a}^n \boldsymbol{v}_{a} \right)^2 – \cfrac{2m}{(M+nm)} \left( \sum_a^n \boldsymbol{v}_{a} \right)^2 \right] \\ & + \cfrac{m}{2}\sum_a^n \boldsymbol{v}_a^2 – U \\ = & \left(\sum_a^n \boldsymbol{v}_a \right)^2 \left[ \cfrac{M}{2} \cfrac{m^2}{(M+nm)^2} + \cfrac{nm^3}{2(M + nm)^2} – \cfrac{m^2}{(M+nm)} \right] \\ & + \cfrac{m}{2}\sum_a^n \boldsymbol{v}_a^2 – U \\ = & \left(\sum_a^n \boldsymbol{v}_a \right)^2 \cfrac{m^2}{2(M + nm)} \left[ \ \cfrac{M}{(M+nm)} + \cfrac{nm}{(M + nm)} – \cfrac{2(M+nm)}{(M+nm)} \right] \\ & + \cfrac{m}{2}\sum_a^n \boldsymbol{v}_a^2 – U \\ = & \left(\sum_a^n \boldsymbol{v}_a \right)^2 \cfrac{m^2}{2(M + nm)} \left[ \ – 1 \right] \\ & + \cfrac{m}{2}\sum_a^n \boldsymbol{v}_a^2 – U \\ = & – \cfrac{m^2}{2(M + nm)} \left(\sum_a^n \boldsymbol{v}_a \right)^2 + \cfrac{m}{2}\sum_a^n \boldsymbol{v}_a^2 – U. \\ \end{align}