ランダウ・リフシッツ 力学 §10 問題

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §10 問題のメモです。

問題1

\[ m \rightarrow \gamma m = m’ \] \[ t \rightarrow \beta t = t’ \]

速度\(v = dr/dt\) , 運動エネルギー\(mv^2/2\)は\(\gamma/\beta^2\)倍になります。

方程式が不変となるには

\[ \cfrac{\gamma}{\beta^2} = 1 \] \begin{align} \cfrac{\cfrac{m’}{m}}{\left(\cfrac{t’}{t}\right)^2} = 1 \end{align}

これから

\[ \cfrac{t’}{t} = \sqrt{\cfrac{m’}{m}}. \]

問題2

\[ U \rightarrow \gamma U = U’ \] \[ t \rightarrow \beta t = t’ \]

運動エネルギーは\(1/\beta^2\)倍、ポテンシャルエネルギーは\(\gamma\)倍になりますから

\begin{align} \cfrac{1}{\beta^2} = & \gamma \\ \cfrac{1}{\left( \cfrac{t’}{t} \right)^2} = & \cfrac{U’}{U} \end{align}

これから

\[ \cfrac{t’}{t} = \sqrt{\cfrac{U}{U’}}. \]

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