分母が1次無理関数の積分

しばらく積分なんてやっていなかったのですっかり忘れています。

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} \] の形の積分のメモです。

\(\sin ^{-1}x\)の微分を利用する方法

この積分は$$\sin^{-1} x$$の微分が$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$になることを利用する方法があります。

まずは平方完成します:

\[ \sqrt{-(x-a)(x-b)} = \sqrt{-\frac{(b-a)^2}{4} \left[ \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 – 1 \right]} \]

順番を直して(あと、\(b>a\)と仮定して)

\[ \sqrt{-(x-a)(x-b)} = \frac{(b-a)}{2} \sqrt{ 1 – \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 } \]

これを用いると

\[ \frac{1}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \frac{2}{(b-a)} \frac{1}{\sqrt{ 1 – \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 }} \]

と書く事ができます。

ここで

\[u = \frac{2x -a-b}{b-a} \]

とおくと

\[ du = \frac{2}{b-a} dx \]

ですから、

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \int \frac{2}{(b-a)} \frac{dx}{\sqrt{ 1 – \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 }} = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \sin^{-1} u = \sin^{-1} \frac{2x – a- b}{b-a} \] となります。つまり \[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \sin^{-1} \frac{2x – a- b}{b-a}. \]

変数を置換する方法

\[ x = a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta \]

の置換を用いる方法もあります。この場合、

\[ \sqrt{-(x-a)(x-b)} = \frac{(b-a)}{2} \sin 2\theta \] \[ dx = (b-a) \sin 2\theta d\theta \]

となり、

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \int \frac{2}{(b-a)}\frac{1}{\sin 2 \theta} (b-a) \sin 2 \theta d\theta  = 2 \int d\theta = 2 \theta. \]

この場合、簡単に\(x\)についての式に直すことは出来ませんね。

おまけ

ぼくが積分に困ったときはいつもこの本に頼っています。

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