ランダウ・リフシッツ力学 §32 問題10

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §32 問題10 のメモです。

図のように慣性軸をとります。

\begin{align} \Omega_1 & = \dot{\theta} \cos \alpha \cos \varphi\\ \Omega_2 & = \dot{\theta} \cos \alpha \sin \varphi\\ \Omega_3 & = \dot{\varphi} + \dot{\theta} \sin \alpha \end{align}

慣性中心は楕円体の中心にあって、この場合は動きません。ですから運動エネルギーは回転によるものだけです。

ABについて楕円体が対称ですから\(I_1 = I_2\)。

\begin{align} T =& \cfrac{1}{2} \left(I_1 \Omega_1^2 + I_1 \Omega_2^2 + I_3 \Omega_3^2 \right) \\ =& \cfrac{1}{2}I_1 \cos^2 \alpha \dot{\theta}^2 + \cfrac{1}{2}I_3 \left(\dot{\varphi} + \dot{\theta} \sin \alpha \right)^2. \end{align}