ランダウ・リフシッツ力学 §11 問題 2 b

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §11 問題2 b のメモです。

ポテンシャルエネルギー

\[ U = -\frac{U_0}{\cosh^2 \alpha x} \]

は原点(\(x=0\))で対称なので、振動の周期は原点から停留点までの積分の2倍です。

停留点を\(x_0\)とすると\(x_0\)は

\[ E = -\cfrac{U_0}{\cosh^2 \alpha x_0} \]

の解です。\(-U_0 < E < 0\)ですから\(E = -|E|\), \(-U_0 < -|E| < 0\)と書き直します。

すると

\[ \cosh \alpha x_0 = \cfrac{U_0}{|E|} \] \[ x_0 = \frac{1}{\alpha}\cosh ^{-1}\cfrac{U_0}{|E|} \]

です。

振動の周期\(T\)は

\[ T = 2 \sqrt{2m} \int_0^{x_0} \cfrac{dx}{\sqrt{-|E| + \cfrac{U_0}{\cosh^2 \alpha x}}} = 2 \sqrt{\cfrac{2m}{|E|}} \int_0^{x_0} \cfrac{\cosh \alpha x dx}{\sqrt{-\cosh^2 \alpha x + {U_0}{|E|}}} \]

です。

変数変換します。\(u = \sinh \alpha x\)とおいて、\(u_0 = \sqrt{U_0 / |E| -1}\)とすると

\[ T = \cfrac{2}{\alpha}\sqrt{\cfrac{2m}{|E|}} \int_0^{u_0} \cfrac{du}{\sqrt{-u^2 + {U_0}{|E|}}} = \cfrac{2}{\alpha}\sqrt{\cfrac{2m}{|E|}} \left . \sin^{-1} \cfrac{u}{\sqrt{\cfrac{U_0}{|E|} -1}}\right|_0^{u_0} \]

最終的に

\[ T = \cfrac{2}{\alpha}\sqrt{\cfrac{2m}{|E|}} \cfrac{\pi}{2} = \cfrac{\pi}{\alpha}\cfrac{\sqrt{2m}}{\sqrt{|E|}} \]

となります。