ランダウ・リフシッツ力学 §32 問題1 a

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §32 問題1 a のメモです。

直線をz軸にとります。

慣性中心\(z_0\)は

\[ z_0 = \cfrac{1}{\mu} \sum_a m_a z_a \]

ここで\(\mu = \sum_a m_a\)です。

慣性モーメントは

\begin{align} I_1 = I_2 = & \sum_a m_a (z_a – z_0)^2 \\ = & \sum_a m_a \left(z_a^2 – 2 z_a z_0 + z_0^2 \right) \\ = & \sum_a m_a z_a^2 – 2 z_0 \sum_a m_a z_a + \mu z_0^2 \\ \end{align}

ここで\(z_0\)を和で書き直します。和をとる添字を\(a\)ではなく\(b\)にして

\begin{align} I_1 = I_2 = & \sum_a m_a z_a^2 – 2 \cfrac{1}{\mu}\sum_{a,b} m_a z_a m_b z_b + \cfrac{1}{\mu^2} \mu \sum_{a,b} m_a z_a m_b z_b \\ = & \sum_a m_a z_a^2 – \cfrac{1}{\mu}\sum_{a,b} m_a z_a m_b z_b \\ = & \cfrac{1}{\mu} \left(\sum_{a,b} m_a m_b z_a^2 – \sum_{a,b} m_a z_a m_b z_b \right)\\ = & \cfrac{1}{\mu} \sum_{a,b}\left( m_a m_b z_a^2 – m_a z_a m_b z_b \right)\\ \end{align}

これまでは和の添字\(a,b\)は全ての原子についてとるものでした。

例えば\(n\)個の原子からなる分子の場合

\begin{align} (a,b) = & (1, 1), (1, 2), \ldots (1, n-1), (1, n) \\ & (2, 1), (2, 2), \dots (2, n-1), (2, n) \\ & \vdots \\ & (n, 1), (n, 2), \dots (n-1, n-1), (n, n) \\ \end{align}

の全ての\((a,b)\)ペアで和を取ります。

このペアを行列と見立てて考えます。

ここで上三角行列成分だけにペアを限定します。そうすると上記の和は次のように書くことができます:

\[ I_1 = I_2 = \cfrac{1}{\mu} \sum_{a \lt b}\left( m_a m_b z_a^2 + m_a m_b z_b^2 – m_a z_a m_b z_b – m_a z_a m_b z_b\right) \]

対角成分はゼロなので除くことができます。

これをさらに書き直します:

\begin{align} I_1 = I_2 = & \cfrac{1}{\mu} \sum_{a \lt b}\left( m_a m_b z_a^2 + m_a m_b z_b^2 – 2 m_a z_a m_b z_b \right)\\ = & \cfrac{1}{\mu} \sum_{a \lt b} m_a m_b \left( z_a^2 + z_b^2 – 2 z_a z_b \right)\\ = & \cfrac{1}{\mu} \sum_{a \lt b} m_a m_b \left( z_a – z_b \right)^2 \\ = & \cfrac{1}{\mu} \sum_{a \lt b} m_a m_b l_{ab}^2 \\ \end{align}

上で述べたように、和の中で\((a,b)\)のペアは\(a,b\)それぞれ1回だけカウントします。

本文中では和の添字は\(a\not =b\)と書いています。