ランダウ・リフシッツ力学 §32 問題8

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §32 問題8 のメモです。

問題8を解く

問題7と同様に「回転の角速度は、瞬間的な軸OAの周りの真正の回転の速さとして計算される」と考えます。

OAと慣性中心までの距離が\(a \sin \alpha\)ですから、それに角速度を乗じたものが\(Z\)軸の回転の速度と等しいとおきます:

\begin{align} \Omega a \sin \alpha = & V \end{align} \(V=a \dot{\theta}\)ですから \begin{align} \Omega = & \cfrac{V}{a \sin \alpha} = \cfrac{a \dot{\theta}}{a \sin \alpha} = \cfrac{\dot{\theta}}{\sin \alpha} . \end{align}

となります。

慣性主軸は図のように\(x_1\), \(x_3\)をとります。

それぞれの軸の角速度ベクトルの写影を\(\Omega_1\), \(\Omega_3\)とすると運動エネルギーは

\begin{align} T = & \cfrac{\mu}{2} V^2 + \cfrac{I_1}{2} \Omega_1^2 + \cfrac{I_3}{2} \Omega_3^2 \\ = & \cfrac{\mu}{2} a^2{\dot{\theta}}^2 + \cfrac{I_1}{2} {\dot{\theta}}^2 + \cfrac{I_3}{2} {\dot{\theta}}^2 \cot^2\alpha \\ \end{align}

ここで問題2-eの結果を使います:

\begin{align} T = & \cfrac{\mu}{2} {\left(\cfrac{3}{4}h\right)}^2{\dot{\theta}}^2 + \cfrac{1}{2} \cfrac{3}{20}\mu \left(R^2 + \cfrac{h^2}{4} \right) {\dot{\theta}}^2 + \cfrac{1}{2} \cfrac{3}{10}\mu R^2 {\dot{\theta}}^2 \cot^2\alpha \\ = & \cfrac{\mu}{2} {\dot{\theta}}^2 \left[ \cfrac{9}{16}h^2 + \cfrac{3}{20} \left(R^2 + \cfrac{h^2}{4} \right) + \cfrac{3}{10} R^2 \cot^2\alpha \right] \\ \end{align}

ここで\(\tan R/h\)の関係を使って \(R\)と\(a\)を消去します:

\begin{align} T = & \cfrac{\mu}{2} {\dot{\theta}}^2 \left[ \cfrac{9}{16}h^2 + \cfrac{3}{20} \left(h^2 \tan^2\alpha + \cfrac{h^2}{4} \right) + \cfrac{3}{10} h^2 \tan^2 \alpha \cot^2\alpha \right] \\ = & \cfrac{\mu}{2} {\dot{\theta}}^2 h^2 \left[ \cfrac{9}{16} + \cfrac{3}{20} \left( \tan^2\alpha + \cfrac{1}{4} \right) + \cfrac{3}{10} \right] \\ = & \cfrac{\mu}{2} {\dot{\theta}}^2 h^2 \left[ \cfrac{9}{16} + \cfrac{3}{20} \left( \cfrac{1}{\cos^2\alpha} -1 + \cfrac{1}{4} \right) + \cfrac{3}{10} \right] \\ = & \cfrac{\mu}{2} {\dot{\theta}}^2 h^2 \left[ \cfrac{3}{4} + \cfrac{3}{20} \cfrac{1}{\cos^2\alpha} \right] \\ = & \cfrac{\mu h^2}{2} {\dot{\theta}}^2 \left[ \cfrac{3}{20} \cfrac{1}{\cos^2\alpha} + \cfrac{15}{20} \right] \\ = & \cfrac{3\mu h^2}{40} {\dot{\theta}}^2 \left[ \cfrac{1}{\cos^2\alpha} + 5 \right] \\ \end{align}

問題7の結果と比較してみる

問題7の結果と比較してみます。それぞれの運動エネルギーを\(T_7\), \(T_8\)と書くと

\begin{align} T_7 = &\cfrac{3\mu h^2}{40} \dot{\theta}^2 \left(1+ 5\cos^2 \alpha\right) \\ T_8 = &\cfrac{3\mu h^2}{40} \dot{\theta}^2 \left(\cfrac{1}{\cos^2 \alpha}+ 5 \right). \end{align}

ゼロでない\(\alpha\)に対しては\(\cos^2 \alpha \le 1\)ですから

\[ T_7 \le T_8 \]

となることが分かります。つまり円錐の回転軸が平面と平行の方が運動エネルギーが大きいです。

もう少し調べてみます。角速度ベクトルの写影はそれぞれ

\begin{align} \Omega_1^{(7)} =& \Omega\sin\alpha = \dot{\theta} \cot \alpha \sin \alpha = \dot{\theta} \cos\alpha \\ \Omega_1^{(8)} =& \Omega\sin\alpha = \cfrac{\dot{\theta}}{\sin \alpha} \sin \alpha = \dot{\theta} \\ \end{align} \begin{align} \Omega_3^{(7)} =& \Omega\cos\alpha = \dot{\theta} \cot \alpha \cos \alpha = \dot{\theta} \cfrac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \\ \Omega_3^{(8)} =& \Omega\cos\alpha = \cfrac{\dot{\theta}}{\sin \alpha} \cos \alpha = \dot{\theta} \cfrac{\cos\alpha}{\sin \alpha} . \end{align}

つまり問題7の方が角速度がそれぞれ\(\cos\alpha\)ぶんだけ小さくなっています。そのため運動エネルギーが小さくなっているわけです。

実際、運動エネルギーは

\[ T_7 = T_8 \cos^2 \alpha \]

と書くことができます。(おもしろい!)