ランダウ・リフシッツ力学 §27 問題 2

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §27 問題2のメモです。今回は計算すれば割と簡単にフォローできます。 \[ \gamma = \omega_0 + \varepsilon \] として運動方程式 \begin{align} \ddot{x} + \omega^2(t) x = & 0 \\ \ddot{x} + \omega_0^2(1+h\cos\gamma t) x = & 0 \\ \end{align} に代入すると \begin{align} \ddot{x} + \omega_0^2(1 + h \cos(\omega_0 + \varepsilon)t)x = 0. \end{align} 解を \[ x = a_0 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t + b_0 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t + a_1 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t + b_1 \sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t + c_1 \] の形に置いて代入します。まず時間の2階微分は \begin{align} \ddot{x} = & – a_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t – b_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t \\ & – 4 a_1 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t -4 b_1 (\omega_0 + \varepsilon)^2\sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t . \end{align} これを使って運動方程式は次のようになります: \begin{align} & – a_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t – b_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t \\ & – 4 a_1 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t -4 b_1 (\omega_0 + \varepsilon)^2\sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t \\ & + \omega_0^2 (1+ h \cos (\omega_0 + \varepsilon)t) (a_0 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t + b_0 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t + a_1 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t + b_1 \sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t + c_1) \\ & = 0. \end{align} 書き直します: \begin{align} & – a_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t – b_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t \\ & – 4 a_1 (\omega_0 + \varepsilon)^2 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t -4 b_1 (\omega_0 + \varepsilon)^2\sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t \\ & + \omega_0^2 (a_0 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t + b_0 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t + a_1 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t + b_1 \sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t + c_1) \\ & + h \omega_0^2 \cos (\omega_0 + \varepsilon)t (a_0 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t + b_0 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t + a_1 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t + b_1 \sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t + c_1) \\ & = 0. \end{align} 最後の項を計算しておきます: \begin{align} & \cos (\omega_0 + \varepsilon)t (a_0 \cos(\omega_0 + \varepsilon)t + b_0 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t + a_1 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t + b_1 \sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t + c_1) \\ = & a_0 \cos^2(\omega_0 + \varepsilon)t + b_0 \sin (\omega_0 + \varepsilon)t \cos (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & a_1 \cos 2(\omega_0 + \varepsilon)t \cos (\omega_0 + \varepsilon)t + b_1 \sin 2(\omega_0 + \varepsilon)t \cos (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & c_1 \cos (\omega_0 + \varepsilon)t \\ = & a_0 \cfrac{1}{2} \left(\cos2(\omega_0 + \varepsilon)t + 1 \right) + b_0 \cfrac{1}{2} \sin 2 (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & a_1 \cfrac{1}{2} ( \cos (\omega_0 + \varepsilon)t + \cos 3(\omega_0 + \varepsilon)t ) + b_1 \cfrac{1}{2} (\sin 3(\omega_0 + \varepsilon)t + \sin (\omega_0 + \varepsilon)t ) \\ + & c_1 \cos (\omega_0 + \varepsilon)t \\ \approx & a_0 \cfrac{1}{2} \left(\cos2(\omega_0 + \varepsilon)t + 1 \right) + b_0 \cfrac{1}{2} \sin 2 (\omega_0 + \varepsilon)t + a_1 \cfrac{1}{2} \cos (\omega_0 + \varepsilon)t + b_1 \cfrac{1}{2} \sin (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & c_1 \cos (\omega_0 + \varepsilon)t. \\ \end{align} \begin{align} & \left( – a_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 + a_0 \omega_0^2 + h\omega_0^2 \cfrac{a_1}{2} + h \omega_0^2 c_1 \right) \cos (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & \left( – b_0 (\omega_0 + \varepsilon)^2 + b_0 \omega_0^2 + h\omega_0^2 \cfrac{b_1}{2} \right) \sin (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & \left( -4a_1 (\omega_0 + \varepsilon)^2 + a_1 \omega_0^2 + h\omega_0^2 \cfrac{a_0}{2} \right) \cos 2 (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & \left( -4b_1 (\omega_0 + \varepsilon) ^2 + b_1 \omega_0^2 + h\omega_0^2 \cfrac{b_0}{2} \right) \sin 2 (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & h \omega_0^2 \cfrac{a_0}{2} + \omega_0^2 c_1 \\ = & 0. \end{align} \(\varepsilon\)について1次まで残します: \begin{align} & \left( – 2a_0 \omega_0 \varepsilon + h\omega_0^2 \cfrac{a_1}{2} + h \omega_0^2 c_1 \right) \cos (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & \left( – 2 b_0 \omega_0 \varepsilon + h\omega_0^2 \cfrac{b_1}{2} \right) \sin (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & \left( -3 a_1 \omega_0^2 + h\omega_0^2 \cfrac{a_0}{2} \right) \cos 2 (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & \left( -3 b_1 \omega_0^2 + h\omega_0^2 \cfrac{b_0}{2} \right) \sin 2 (\omega_0 + \varepsilon)t \\ + & \left(h \omega_0^2 \cfrac{a_0}{2} + \omega_0^2 c_1 \right) \\ = & 0. \end{align} \(\sin\), \(\cos\)の係数が同時にゼロになる条件から \begin{align} a_1 & = \cfrac{h }{6} a_0 \\ b_1 & = \cfrac{h }{6} b_0 \\ c_1 & = -\cfrac{h}{2} a_0 \end{align}

が得られます。

不安定領域の限界を求めるために\(\varepsilon\)について解きます。

まず

\[ 2 b_0 \omega_0 \varepsilon = h\omega_0^2 \cfrac{b_1}{2} \] に代入して \begin{align} \varepsilon & = \cfrac{h \omega_0 b_1}{4b_0}\\ & = \cfrac{h \omega_0 }{4b_0} \cfrac{h b_0}{6}\\ & = \cfrac{h^2 \omega_0}{24} . \end{align}

次に

\[ 2a_0 \omega_0 \varepsilon = h\omega_0^2 \cfrac{a_1}{2} + h \omega_0^2 c_1 \] に代入して \begin{align} 2a_0 \varepsilon & = h \omega_0 \cfrac{h a_0}{12} – h\omega_0 \cfrac{ha_0}{2} = -\cfrac{5}{12} h^2 \omega_0 a_0 \\ \varepsilon & = -\cfrac{5}{24} h^2 \omega_0. \end{align}