ランダウ・リフシッツ 力学 §27 問題 2

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §27 問題2のメモです。 今回は計算すれば割と簡単にフォローできます。 γ=ω0+ε として運動方程式 ¨x+ω2(t)x=0¨x+ω20(1+hcosγt)x=0 に代入すると ¨x+ω20(1+hcos(ω0+ε)t)x=0. 解を x=a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1 の形に置いて代入します。まず時間の2階微分は ¨x=a0(ω0+ε)2cos(ω0+ε)tb0(ω0+ε)2sin(ω0+ε)t4a1(ω0+ε)2cos2(ω0+ε)t4b1(ω0+ε)2sin2(ω0+ε)t. これを使って運動方程式は次のようになります: a0(ω0+ε)2cos(ω0+ε)tb0(ω0+ε)2sin(ω0+ε)t4a1(ω0+ε)2cos2(ω0+ε)t4b1(ω0+ε)2sin2(ω0+ε)t+ω20(1+hcos(ω0+ε)t)(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)=0. 書き直します: a0(ω0+ε)2cos(ω0+ε)tb0(ω0+ε)2sin(ω0+ε)t4a1(ω0+ε)2cos2(ω0+ε)t4b1(ω0+ε)2sin2(ω0+ε)t+ω20(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)+hω20cos(ω0+ε)t(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)=0. 最後の項を計算しておきます: cos(ω0+ε)t(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)=a0cos2(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)tcos(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)tcos(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)tcos(ω0+ε)t+c1cos(ω0+ε)t=a012(cos2(ω0+ε)t+1)+b012sin2(ω0+ε)t+a112(cos(ω0+ε)t+cos3(ω0+ε)t)+b112(sin3(ω0+ε)t+sin(ω0+ε)t)+c1cos(ω0+ε)ta012(cos2(ω0+ε)t+1)+b012sin2(ω0+ε)t+a112cos(ω0+ε)t+b112sin(ω0+ε)t+c1cos(ω0+ε)t. (a0(ω0+ε)2+a0ω20+hω20a12+hω20c1)cos(ω0+ε)t+(b0(ω0+ε)2+b0ω20+hω20b12)sin(ω0+ε)t+(4a1(ω0+ε)2+a1ω20+hω20a02)cos2(ω0+ε)t+(4b1(ω0+ε)2+b1ω20+hω20b02)sin2(ω0+ε)t+hω20a02+ω20c1=0. εについて1次まで残します: (2a0ω0ε+hω20a12+hω20c1)cos(ω0+ε)t+(2b0ω0ε+hω20b12)sin(ω0+ε)t+(3a1ω20+hω20a02)cos2(ω0+ε)t+(3b1ω20+hω20b02)sin2(ω0+ε)t+(hω20a02+ω20c1)=0. sin, cosの係数が同時にゼロになる条件から a1=h6a0b1=h6b0c1=h2a0

が得られます。

不安定領域の限界を求めるためにεについて解きます。

まず

2b0ω0ε=hω20b12 に代入して ε=hω0b14b0=hω04b0hb06=h2ω024.

次に

2a0ω0ε=hω20a12+hω20c1 に代入して 2a0ε=hω0ha012hω0ha02=512h2ω0a0ε=524h2ω0.