2018.09.09 物理学 GordiusRocker
ランダウ・リフシッツ 力学 §27 問題 2
ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §27 問題2のメモです。 今回は計算すれば割と簡単にフォローできます。 γ=ω0+ε
として運動方程式 ¨x+ω2(t)x=0¨x+ω20(1+hcosγt)x=0
に代入すると
¨x+ω20(1+hcos(ω0+ε)t)x=0.
解を
x=a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1
の形に置いて代入します。まず時間の2階微分は
¨x=–a0(ω0+ε)2cos(ω0+ε)t–b0(ω0+ε)2sin(ω0+ε)t–4a1(ω0+ε)2cos2(ω0+ε)t−4b1(ω0+ε)2sin2(ω0+ε)t. これを使って運動方程式は次のようになります:
–a0(ω0+ε)2cos(ω0+ε)t–b0(ω0+ε)2sin(ω0+ε)t–4a1(ω0+ε)2cos2(ω0+ε)t−4b1(ω0+ε)2sin2(ω0+ε)t+ω20(1+hcos(ω0+ε)t)(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)=0.
書き直します:
–a0(ω0+ε)2cos(ω0+ε)t–b0(ω0+ε)2sin(ω0+ε)t–4a1(ω0+ε)2cos2(ω0+ε)t−4b1(ω0+ε)2sin2(ω0+ε)t+ω20(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)+hω20cos(ω0+ε)t(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)=0. 最後の項を計算しておきます:
cos(ω0+ε)t(a0cos(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)t+c1)=a0cos2(ω0+ε)t+b0sin(ω0+ε)tcos(ω0+ε)t+a1cos2(ω0+ε)tcos(ω0+ε)t+b1sin2(ω0+ε)tcos(ω0+ε)t+c1cos(ω0+ε)t=a012(cos2(ω0+ε)t+1)+b012sin2(ω0+ε)t+a112(cos(ω0+ε)t+cos3(ω0+ε)t)+b112(sin3(ω0+ε)t+sin(ω0+ε)t)+c1cos(ω0+ε)t≈a012(cos2(ω0+ε)t+1)+b012sin2(ω0+ε)t+a112cos(ω0+ε)t+b112sin(ω0+ε)t+c1cos(ω0+ε)t. (–a0(ω0+ε)2+a0ω20+hω20a12+hω20c1)cos(ω0+ε)t+(–b0(ω0+ε)2+b0ω20+hω20b12)sin(ω0+ε)t+(−4a1(ω0+ε)2+a1ω20+hω20a02)cos2(ω0+ε)t+(−4b1(ω0+ε)2+b1ω20+hω20b02)sin2(ω0+ε)t+hω20a02+ω20c1=0.
εについて1次まで残します:
(–2a0ω0ε+hω20a12+hω20c1)cos(ω0+ε)t+(–2b0ω0ε+hω20b12)sin(ω0+ε)t+(−3a1ω20+hω20a02)cos2(ω0+ε)t+(−3b1ω20+hω20b02)sin2(ω0+ε)t+(hω20a02+ω20c1)=0. sin, cosの係数が同時にゼロになる条件から
a1=h6a0b1=h6b0c1=−h2a0が得られます。
不安定領域の限界を求めるためにεについて解きます。
まず
2b0ω0ε=hω20b12
に代入して
ε=hω0b14b0=hω04b0hb06=h2ω024.次に
2a0ω0ε=hω20a12+hω20c1
に代入して
2a0ε=hω0ha012–hω0ha02=−512h2ω0a0ε=−524h2ω0.エリ・ランダウ,イェ・エム・リフシッツ 東京図書 1986-04
L D Landau,E. M. Lifshitz Butterworth-Heinemann 1982-01-29
