ランダウ・リフシッツ力学 §19 問題 1

ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §19 問題 1 のメモです。

ふれの角度

式((18.4)に

\[ U = \cfrac{\alpha}{r^2} \]

を代入します。この時

\[ \cfrac{\rho}{r} = u \]

および

\[ \cfrac{\rho}{r^2} dr = -du \] を使います: \begin{align} \varphi_0 = & \int_{r_\mathrm{min}}^\infty \cfrac{\rho \cfrac{dr}{r^2} } {\sqrt{1 – \cfrac{\rho^2}{r^2} -\cfrac{2 \alpha}{m v_{\infty}^2 r^2}} } \\ = & – \int_{\rho/r_\mathrm{min}}^0 \cfrac{du } {\sqrt{1 – u^2 -\cfrac{2 \alpha u^2}{m v_{\infty}^2 \rho^2}} } \\ = & – \int_{\rho/r_\mathrm{min}}^0 \cfrac{du } {\sqrt{1 – \left(1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} \right) u^2 } } \\ = & \cfrac{1}{ \sqrt{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } } \int_0^{\rho/r_\mathrm{min}} \cfrac{du } {\sqrt{\cfrac{1}{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2}} – u^2 } } \\ = & \cfrac{1}{ \sqrt{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } } \left. \sin^{-1} \cfrac{u}{　 \sqrt{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } } \right|_0^{\rho/r_\mathrm{min}} . \end{align} \(\rho/r_\mathrm{min} \equiv u_\mathrm{max}\)は \[ \cfrac{1}{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2}} – u_\mathrm{max}^2 =0 \]

の根です。これから

\[ u_\mathrm{max} = \sqrt{\cfrac{1}{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2}} } \]

ここで\(r>0\)なので\(u>0\)。したがって根号の前の符号は正のみです。この\(u_\mathrm{max}\)を用いて

\[ \varphi_0 = \cfrac{\pi}{ 2\sqrt{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } } . \]

これから

\[ \chi = \pi – 2\varphi = \pi \left[ 1 – \cfrac{1}{ \sqrt{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } }\right] . \]

有効断面積

\begin{align} \cfrac{\chi}{\pi} = & 1 – \cfrac{1}{ \sqrt{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } } \\ \cfrac{1}{ \sqrt{1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } } = & 1 – \cfrac{\chi}{\pi} = \cfrac{\pi -\chi}{\pi} \\ \cfrac{1}{ 1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} } = & \cfrac{(\pi -\chi)^2}{\pi^2} \\ 1 + \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} = & \cfrac{\pi^2} {(\pi -\chi)^2} \\ \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 \rho^2} = & \cfrac{\pi^2} {(\pi -\chi)^2} – 1 \\ = & \cfrac{\pi^2 – (\chi^2 -2\pi \chi + \pi^2) } {(\pi -\chi)^2} \\ = & \cfrac{ – (\chi^2 -2\pi \chi) } {(\pi -\chi)^2} \\ = & \cfrac{ – \chi (\chi -2\pi ) } {(\pi -\chi)^2} \\ \rho^2 = & – \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 } \cfrac{(\pi -\chi)^2} { \chi (\chi -2\pi ) } \\ \cfrac{d \rho^2}{d\chi} = & – \cfrac{2 \alpha }{m v_{\infty}^2 } \left[ \cfrac{- 2(\pi -\chi)} { \chi (\chi -2\pi ) } – (-1)\cfrac{(\pi -\chi)^2 (2\chi – 2\pi)} { \chi^2 (\chi -2\pi )^2 } \right] \\ = & \cfrac{4 \alpha }{m v_{\infty}^2 } \cfrac{(\pi -\chi)} { \chi^2 (\chi -2\pi )^2 } \left[ \chi (\chi -2\pi ) – (\pi -\chi)^2 \right] \\ = & \cfrac{4 \alpha }{m v_{\infty}^2 } \cfrac{(\pi -\chi)} { \chi^2 (\chi -2\pi )^2 } \left[ \chi^2 -2\pi \chi – (\pi^2 – 2\pi \chi +\chi^2) \right] \\ = & – \cfrac{4 \pi^2\alpha }{m v_{\infty}^2 } \cfrac{(\pi -\chi)} { \chi^2 (\chi -2\pi )^2 } \\ = & 2\rho \cfrac{d\rho}{d \chi} \end{align}

これから

\begin{align} d\sigma = &\cfrac{ \rho}{\sin \chi}\left| \cfrac{d\rho}{d\chi}\right| do \\ = & \cfrac{2 \pi^2\alpha }{m v_{\infty}^2 } \cfrac{(\pi -\chi)} { \chi^2 (\chi -2\pi )^2 } \cfrac{ do}{\sin \chi} . \end{align}