しばらく積分なんてやっていなかったのですっかり忘れています。
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} \] の形の積分のメモです。目次
\(\sin ^{-1}x\)の微分を利用する方法
この積分は$$\sin^{-1} x$$の微分が$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$になることを利用する方法があります。
まずは平方完成します:
\[ \sqrt{-(x-a)(x-b)} = \sqrt{-\frac{(b-a)^2}{4} \left[ \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 – 1 \right]} \]順番を直して(あと、\(b>a\)と仮定して)
\[ \sqrt{-(x-a)(x-b)} = \frac{(b-a)}{2} \sqrt{ 1 – \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 } \]これを用いると
\[ \frac{1}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \frac{2}{(b-a)} \frac{1}{\sqrt{ 1 – \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 }} \]と書く事ができます。
ここで
\[u = \frac{2x -a-b}{b-a} \]とおくと
\[ du = \frac{2}{b-a} dx \]ですから、
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \int \frac{2}{(b-a)} \frac{dx}{\sqrt{ 1 – \left( \frac{2x-a-b}{b-a} \right)^2 }} = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \sin^{-1} u = \sin^{-1} \frac{2x – a- b}{b-a} \] となります。つまり \[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \sin^{-1} \frac{2x – a- b}{b-a}. \]変数を置換する方法
\[ x = a \cos^2 \theta + b \sin^2 \theta \]の置換を用いる方法もあります。この場合、
\[ \sqrt{-(x-a)(x-b)} = \frac{(b-a)}{2} \sin 2\theta \] \[ dx = (b-a) \sin 2\theta d\theta \]となり、
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{-(x-a)(x-b)}} = \int \frac{2}{(b-a)}\frac{1}{\sin 2 \theta} (b-a) \sin 2 \theta d\theta = 2 \int d\theta = 2 \theta. \]この場合、簡単に\(x\)についての式に直すことは出来ませんね。
おまけ
ぼくが積分に困ったときはいつもこの本に頼っています。
